Persamaan Bola

Assalamualaikum wr.wb
Post kali ini yaitu membahasa singkat tentang Persamaan Bola:

Bola dengan pusat titik O (titik asal) dan berjari-jari r, persamaannya diperoleh dengan cara mengambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola. Sehingga

Pada gambar disamping

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka setiap titik (x, y, z) pada bola berlaku
x^2 + y^2 + z^2 = r^2. Ini berarti persamaan bola dengan pusat O dan berjari-jari r adalah:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
Selanjutnya akan dicari persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat M(a, b, c).
Ambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola, maka vektor

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola yamg memenuhi persamaan tersebut diatas, maka setiap titik (x, y, z) pada bola memenuhi persamaan tersebut. Hal ini berarti persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a, b, c) adalah:
(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2.

Contoh :

* Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (1, 3, 2) dan melalui titik (2, 5, 0).
Jawab :
Jari-jari bola adalah jarak dua titik tersebut, yaitu :

Persamaan bola yang dicari adalah persamaan bola dengan jari-jari 3 dan berpusat di titik (1, 3, 2), yaitu:

Jika dijabarkan menjadi

Rumus persamaan bola yaitu (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2 dapat  ditulis sebagai berikut:




Jika –2a = A, -2b = B, -2c = C, dan a2 + b2 + c2 – r2 = D, maka persamaan bola tersebut dapat ditulis sebagai berikut
x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0

Nampak disini bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam x, y, dan z dengan ciri-ciri:
(a) tidak memuat suku-suku xy, xz, atau yz, dan
(b) koefisien-koefisien x2, y2, dan z2 selalu sama.
Selanjutnya akan ditentukan titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan  x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0.
Persamaan ini bisa diubah dengan melengkapi kuadrat dari x, y, dan z sebagai berikut:

Dari persamaan ini dapat dengan mudah ditentukan titik pusat dan jari-jari bola, yaitu:

Terima Kasih, Semoga Bermanfaat 🙇🙇